高中數學求最值的方法
函數的最值問題既是歷年大學聯考重點考查的內容之一,也是中學數學的主要內容。分享了高中數學求最值的幾種方法,希望對同學們有幫助!
(1)代數法。代數法包括判別式法(主要是應用方程的思想來解決函數最值問題)配方法(解決二次函數可轉化為求二次函數的最值問題)不等式法(基本不等式是求最值問題的重要工具,靈活運用不等式,能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問題)④換元法(利用題設條件,用換元的方法消去函數中的一部分變量,將問題化歸為一元函數的最值,以促成問題順利解決,常用的換元法有代數換元法和三角換元法)。
①判別法:判別式法是等式與不等式聯繫的重要橋樑,若能在解多元函數最值過程中巧妙地運用,就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在於能否合理地構造二次方程或二次函數,還需注意是否能取等號。若函數可化成一個係數含有y的關於x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,在a(y)≠0時,由於x,y為實數,必須有:△=[b(y)]—4a(y)c(y)≥0,由此求出y所在的範圍確定函數最值。
②配方法:配方法多使用於二次函數中,通過變量代換,能變為關於t(x)的二次函數形式,函數可先配方成為f(x)=a[t(x)—m]2+n的形式,再根據二次函數的性質確定其最值(此類題的解法關鍵在於用“配方法”將二次函數一般式化為頂點式,同時要考慮頂點的橫座標的值是否落在定義域內,若不在定義域內則需考慮函數的單調性)。
③不等式法:均值不等式求最值,必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件,因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當的恆等變形,使這些條件得以滿足“和定積最大,積定和最小”,特別是其等號成立的條件。(在滿足基本不等式的條件下,如果變量的和為定值,則積有最大值;變量的積為定值,則和有最小值。本例中計算的目的,是利用隱含在條件之中的和為定值,當然這裏還需要利用係數的湊合才能達到目的,具有一定技巧)
④換元法:換元法又叫變量替換法,即把某個部分看成一個式子,並用一個字母代替,於是使原式變得簡化,使解題過程更簡捷(在利用三角換元法求解問題時,關鍵還是要在掌握好三角函數常用關係式的基礎上,結合所求解的函數式,慎重使用)。
(2)數形結合法。數形結合法是數學中的一種重要的`思想方法,即考慮函數的幾何意義,結合幾何背景,把代數問題轉化為幾何問題,解法往往顯得直觀、簡捷。通過數與形之間的對應和轉化來解題,有許多的優越性。將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來,藉助幾何圖形活躍解題思路,使解題過程簡化。有時函數最值也藉助數形結合方法來求解。
①解析式:解析法是觀察函數的解析式,結合函數相關的性質,求解函數最值的方法。
②函數性質法:函數性質法主要是討論利用已學函數的性質,如函數的單調性求函數最值等。
③構造複數法:構造複數法是在已經學習複數章節的基礎上,把所求結論與複數的相關知識聯繫起來,充分利用複數的性質來進行求解。
④求導法(微分法):導數是高中現行教材新增加的內容,求導法求函數最值是應用高等數學的知識解決初等問題,可以解決一類高次函數的最值問題。找閉區間[a,b]上連續的函數f(x)的最大(或最小)值時,將不可導點、穩定點及a,b處的函數值作比較,最大(或最小)者即為最大(或最小)值。
綜上可知,函數最值問題內涵豐富,解法靈活,沒有通用的方法和固定的模式,在解題時要因題而異;而且上述方法並非彼此孤立,而是相互聯繫、相互滲透的,有時一個問題需要多法並舉,互為補充,有時一個題目又會有多種解法。因此,解題的關鍵在於認真分析和思考,因題而異地選擇恰當的解題方法,當一題有多種解法時,當然應該注意選擇最優解法。
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