數學《空間點、直線、平面的位置關係》知識點總結

本節內容主要是空間點、直線、平面之間的位置關係，在認識過程中，可以進一步提高同學們的空間想象能力，發展推理能力．通過對實際模型的認識，學會將文字語言轉化爲圖形語言和符號語言，以具體的長方體中的點、線、面之間的關係作爲載體，使同學們在直觀感知的基礎上，認識空間中點、線、面之間的位置關係，點、線、面的位置關係是立體幾何的主要研究對象，同時也是空間圖形最基本的幾何元素．

重難點知識歸納

1、平面

(1)平面概念的理解

直觀的理解：桌面、黑板面、平靜的水面等等都給人以平面的直觀的印象，但它們都不是平面，而僅僅是平面的一部分．

抽象的理解：平面是平的，平面是無限延展的，平面沒有厚薄．

(2)平面的表示法

①圖形表示法：通常用平行四邊形來表示平面，有時根據實際需要，也用其他的平面圖形來表示平面．

②字母表示：常用等希臘字母表示平面．

(3)涉及本部分內容的符號表示有：

①點A在直線l內，記作；②點A不在直線l內，記作；

③點A在平面內，記作；④點A不在平面內，記作；

⑤直線l在平面內，記作；⑥直線l不在平面內，記作；

注意：符號的使用與集合中這四個符號的使用的區別與聯繫．

(4)平面的基本性質

公理1：如果一條直線的兩個點在一個平面內，那麼這條直線上的所有點都在這個平面內．

符號表示爲：．

注意：如果直線上所有的點都在一個平面內，我們也說這條直線在這個平面內，或者稱平面經過這條直線．

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．

符號表示爲：直線AB存在唯一的平面，使得．

注意：有且只有的`含義是：有表示存在，只有表示唯一，不能用只有來代替．此公理又可表示爲：不共線的三點確定一個平面．

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線．

符號表示爲：．

注意：兩個平面有一條公共直線，我們說這兩個平面相交，這條公共直線就叫作兩個平面的交線．若平面、平面相交於直線l，記作．

公理的推論：

推論1：經過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面．

推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面．

推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．

2．空間直線

(1)空間兩條直線的位置關係

①相交直線：有且僅有一個公共點，可表示爲;

②平行直線：在同一個平面內，沒有公共點，可表示爲a//b;

③異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點．

(2)平行直線

公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行．

符號表示爲：設a、b、c是三條直線，．

定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等．

(3)兩條異面直線所成的角

注意：①兩條異面直線a，b所成的角的範圍是（0，90]．

②兩條異面直線所成的角與點O的選擇位置無關，這可由前面所講過的等角定理直接得出．

③由兩條異面直線所成的角的定義可得出異面直線所成角的一般方法：

(i)在空間任取一點，這個點通常是線段的中點或端點．

(ii)分別作兩條異面直線的平行線，這個過程通常採用平移的方法來實現．

(iii)指出哪一個角爲兩條異面直線所成的角，這時我們要注意兩條異面直線所成的角的範圍．

3．空間直線與平面

直線與平面位置關係有且只有三種：

(1)直線在平面內：有無數個公共點；

(2)直線與平面相交：有且只有一個公共點；

(3)直線與平面平行：沒有公共點．

4．平面與平面

兩個平面之間的位置關係有且只有以下兩種：

(1)兩個平面平行：沒有公共點；

(2)兩個平面相交：有一條公共直線．