求不定積分方法總結
大學數學不定積分是基本內容,那麼,今天,小編給大家分享的是求不定積分方法總結,供大家閱讀參考。
1、不定積分的線性性
成立的前提是,f和g都有不定積分!
這個性質在計算不定積分時,經常用!一般都是把難計算的不定積分,轉化爲一個個容易計算的不定積分。例題就不說了,看書。
2、分部積分法
這是一個很有效的計算積分的辦法!一定要掌握!
從本師的教學經驗來看(別丟雞蛋!),初學者(就是你們了!)往往在兩個地方犯難:
(1)不知道怎麼湊微分
(2)不知道把誰當u,誰當v
另外,一個不定積分的計算,可能需要好幾次分部積分。我們來道普通的例題。
3、有理函數的積分
有理函數的積分,是一類常見的不定積分。它有一套通用的辦法求解,並且很多不定積分,經過適當的換元后,可以轉化成有理函數的不定積分來計算!所以,這種類型的不定積分,一定要掌握!
其中P和Q是x的多項式函數。
這個類型的積分,主要是通過拆項,化成簡單的不定積分來計算。
下面的步驟,其實就是教你怎麼拆項。
(1) 用輾轉相除法,將被積函數化成一個多項式和“真分式”的和:
(2)
h(x)是多項式函數,積分不要太簡單!現在就是要計算右邊這個積分了。
(3)
對Q(x)因式分解。因爲我們考慮的是實係數多項式,由**定理,多項式Q(x)一定能分解成下面兩種類型的`因子的乘積:
(4) 利用待定係數法,將r/Q拆分,拆成簡單的分式的和。舉例說明:
然後,右邊同分,比較等式兩邊分子的係數。
這樣就會得到待定係數的一個一次方程組,解之(非常簡單),算出待定係數。
例子1
例子2
後面都會,不寫了。記得反帶回去,最後要是x的表達式!還有每日+C!
4、 第一類換元(湊分法)u=g(x),主要是要記牢常見的求導公式,然後多從右往左看。
5、第二類換元,x=u(t)
要注意,u(t)必須是單調的!所以一般要指明t的取值範圍。這裏,換元的技巧非常多,本師也只掌握了其中一些常用的。
(1) 倒代換 x=1/t
使用的對象特徵很明顯
來個例子
t<0時,類似處理,最後再下結論。
(2)
這種形狀的積分,直接換元掉根號。
例子說明一切!
(3) 三角換元
這是讓大家又愛又恨的積分法。愛是因爲它實在是太好用了,恨是因爲它實在是太多選擇太多恆等變化了!
這種情況,用合適的三角函數去換元。注意,換元的目的,在這裏是爲了去掉根號,以便達到簡化被積函數的目的。知道這一點,你就知道如何選擇三角函數了。另外,注意新變量的取值範圍,以保證單調性。
書上有太多這樣的例題,這裏不列舉了。
下面主要和大家分享下三角函數有理式(三角函數的乘除)的計算技巧。
(i)遇奇次冪,拿一個出來,湊到微分裏
(ii)都是偶數次冪,倍角公式降冪
(iii)積化和差公式
(iv)當三角函數冪次較低時,使用萬能公式換元
(v) 配湊法
解之,得I_1,I_2.
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