《球的體積和表面積》的課堂教學設計
一、教學目標
知識與技能
⑴通過對球的體積和麪積公式的推導,瞭解推導過程中所用的基本數學思想方法:“分割——求和——化爲準確和”,有利於同學們進一步學習微積分和近代數學知識。
⑵能運用球的面積和體積公式靈活解決實際問題。
⑶培養學生的空間思維能力和空間想象能力。
過程與方法
通過球的體積和麪積公式的推導,從而得到一種推導球體積公式V=
πR3和麪積公式S=4πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和轉化爲球的體積和麪積”的方法,體現了極限思想。
情感與價值觀
通過學習,使我們對球的體積和麪積公式的推導方法有了一定的瞭解,提高了空間思維能力和空間想象能力,增強了我們探索問題和解決問題的信心。
二、教學重點、難點
重點:引導學生了解推導球的體積和麪積公式所運用的基本思想方法。
難點:推導體積和麪積公式中空間想象能力的形成。
三、學法和教學用具
學法:學生通過閱讀教材,發揮空間想象能力,瞭解並初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和轉化爲球的體積和麪積”的解題方法和步驟。
教學用具:投影儀
四、教學設計
創設情景
⑴教師提出問題:球既沒有底面,也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形,那麼怎樣來求球的表面積與體積呢?引導學生進行思考。
⑵教師設疑:球的大小是與球的半徑有關,如何用球半徑來表示球的體積和麪積?激發學生推導球的體積和麪積公式。
探究新知
1.球的體積:
如果用一組等距離的平面去切割球,當距離很小之時得到很多“小圓片”,“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積,由於“小圓片”近似於圓柱形狀,所以它的體積也近似於圓柱形狀,所以它的體積有也近似於相應的圓柱和體積,因此求球的體積可以按“分割——求和——化爲準確和”的方法來進行。
步驟:第一步:分割
如圖:把半球的垂直於底面的半徑OA作n等分,過這些等分點,用一組平行於底面的平面把半球切割成n個“小圓片”,“小圓片”厚度近似爲,底面是“小圓片”的底面。
如圖:
得第二步:求和
第三步:化爲準確的和
當n→∞時,→0 (同學們討論得出)
所以得到定理:半徑是R的球的體積
練習:一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內徑(鋼的密度是7.9g/cm3)
2.球的`表面積:
球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑R的函數,由於球面是不可展的曲面,所以不能像推導圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和轉化爲準確和”方法推導。
思考:推導過程是以什麼量作爲等量變換的?
半徑爲R的球的表面積爲 S=4πR2
練習:長方體的一個頂點上三條棱長分別爲3、4、5,是它的八個頂點都在同一球面上,則這個球的表面積是 。 (答案50元)
典例分析
課本P47 例4和P29例5
鞏固深化、反饋矯正
⑴正方形的內切球和外接球的體積的比爲 ,表面積比爲 。
(答案:; 3 :1)
⑵在球心同側有相距9cm的兩個平行截面,它們的面積分別爲49πcm2和400πcm2,求球的表面積。 (答案:2500πcm2)
分析:可畫出球的軸截面,利用球的截面性質求球的半徑
課堂小結
本節課主要學習了球的體積和球的表面積公式的推導,以及利用公式解決相關的球的問題,瞭解了推導中的“分割、求近似和,再由近似和轉化爲準確和”的解題方法。
評價設計
作業 P30 練習1、3 ,B(1)
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