必修數學求數列通項公式知識點總結
等差數列
對於一個數列{a n },如果任意相鄰兩項之差為一個常數,那麼該數列為等差數列,且稱這一定值差為公差,記為 d ;從第一項 a 1 到第n項 a n 的總和,記為 S n 。
那麼 , 通項公式為,其求法很重要,利用了“疊加原理”的思想:
將以上 n-1 個式子相加, 便會接連消去很多相關的項 ,最終等式左邊餘下a n ,而右邊則餘下 a1和 n-1 個d,如此便得到上述通項公式。
此外, 數列前 n 項的和,其具體推導方式較簡單,可用以上類似的疊加的方法,也可以採取迭代的方法,在此,不再複述。
值得説明的是,,也即,前n項的和Sn 除以 n 後,便得到一個以a 1 為首項,以 d /2 為公差的`新數列,利用這一特點可以使很多涉及Sn 的數列問題迎刃而解。
等比數列
對於一個數列 {a n },如果任意相鄰兩項之商(即二者的比)為一個常數,那麼該數列為等比數列,且稱這一定值商為公比 q ;從第一項 a 1 到第n項 a n 的總和,記為 T n 。
那麼, 通項公式為(即a1 乘以q 的 (n-1)次方,其推導為“連乘原理”的思想:
a 2 = a 1 *q,
a 3 = a 2 *q,
a 4 = a 3 *q,
````````
a n = a n-1 *q,
將以上(n-1)項相乘,左右消去相應項後,左邊餘下a n , 右邊餘下 a1 和(n-1)個q的乘積,也即得到了所述通項公式。
此外, 當q=1時 該數列的前n項和 Tn=a1*n
當q≠1時 該數列前n 項的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).
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