函數方案設計難題

函數，最早由中國清朝數學家李善蘭翻譯，出於其著作《代數學》。以下是小編收集的方案設計難題，歡迎查看！

一次函數是最基本的函數，它與一次方程、一次不等式有密切聯繫，在實際生活中有廣泛的應用。例如，利用一次函數等有關知識可以在某些經濟活動中作出具體的方案決策。近幾年來一些省市的會考或競賽試題中出現了這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時代氣息和很強的選拔功能。

1．生產方案的設計

例1 某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件。已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。

(1)要求安排A、B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案?請你設計出來；

(2)生產A、B兩種產品獲總利潤是y(元)，其中一種的生產件數是x，試寫出y與x之間的函數關係式，並利用函數的性質説明(1)中的哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?

(98年河北)

解 (1)設安排生產A種產品x件，則生產B種產品是(50-x)件。由題意得

解不等式組得 30≤x≤32。

因為x是整數，所以x只取30、31、32，相應的(50-x)的值是20、19、18。

所以，生產的方案有三種，即第一種生產方案：生產A種產品30件，B種產品20件；第二種生產方案：生產A種產品31件，B種產品19件；第三種生產方案：生產A種產品32件，B種產品18件。

(2)設生產A種產品的件數是x，則生產B種產品的件數是50-x。由題意得

y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)

因為 -500<0, 所以 此一次函數y隨x的增大而減小，

所以 當x=30時，y的值最大。

因此，按第一種生產方案安排生產，獲總利潤最大，最大利潤是：-500·3+6000=4500(元)。

本題是利用不等式組的知識，得到幾種生產方案的設計，再利用一次函數性質得出最佳設計方案問題。

2.調運方案設計

例2 北京某廠和上海某廠同時製成電子計算機若干台，北京廠可支援外地10台，上海廠可支援外地4台，現在決定給重慶8台，漢口6台。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/台、8百元/台，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/台、5百元/台。求：

(1)若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少台?

(2)若要求總運費不超過8200元，共有幾種調運方案?

(3)求出總運費最低的調運方案，最低總運費是多少元?

解 設上海廠運往漢口x台，那麼上海運往重慶有(4-x)台，北京廠運往漢口(6-x)台，北京廠運往重慶(4+x)台，則總運費W關於x的一次函數關係式：

W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

(1) 當W=84(百元)時，則有76+2x=84,解得x=4。

若總運費為8400元，上海廠應運往漢口4台。

(2) 當W≤82(元)，則

解得0≤x≤3，因為x只能取整數，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。

答：若要求總運費不超過8200元，共有4種調運方案。

(3) 因為一次函數W=76+2x隨着x的增大而增大，又因為0≤x≤3，所以當x=0時，函數W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運費是7600元。

此時的'調運方案是：上海廠的4台全部運往重慶；北京廠運往漢口6台，運往重慶4台。

本題運用了函數思想得出了總運費W與變量x的一般關係，再根據要求運用方程思想、不等式等知識解決了調運方案的設計問題。並求出了最低運費價。

3．營方案的設計

例3某新建商場設有百貨部、服裝部和家電部三個經營部，共有190名售貨員，計劃全商場日營業額(指每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元。由於營業性質不同，分配到三個部的售貨員的人數也就不等，根據經驗，各類商品每1萬元營業額所需售貨員人數如表1，每1萬元營業額所得利潤情況如表2。

商場將計劃日營業額分配給三個經營部，設分配給百貨部、服裝部和家電部的營業額分別為x(萬元)、y(萬元)、z(萬元)(x,y,z都是整數)。

(1) 請用含x的代數式分別表示y和z；

(2) 若商場預計每日的總利潤為C(萬元)，且C滿足19≤C≤19.7，問這個商場應怎樣分配日營業額給三個經營部?各部應分別安排多少名售貨員?

解 (1)由題意得 ，解得

(2) C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

因為 19≤C≤19.7， 所以 9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得 8≤x≤10。

因為 x,y,z是正整，且x為偶數，所以 x=8或10。

當x=8時，y=23,z=29，售貨員分別為40人，92人，58人；

當x=10時，y=20,z=30，售貨員分別為50人，80人，60人。

本題是運用方程組的知識，求出了用x的代數式表示y、z，再運用不等式和一次函數等知識解決經營調配方案設計問題。

4．優惠方案的設計

例4 某校校長暑假將帶領該校市級“三好生”去北京旅遊。甲旅行社説：“如果校長買全票一張，則其餘學生可享受半價優待。”乙旅行社説：“包括校長在內，全部按全票價的6折(即按全票價的60%收費)優惠。”若全票價為240元。

(1)設學生數為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式)；

(2)當學生數是多少時，兩家旅行社的收費一樣；

(3)就學生數x討論哪家旅行社更優惠。

解 (1)y甲=120x+240, y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

(2)根據題意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4。

答：當學生人數為4人時，兩家旅行社的收費一樣多。

(3)當y甲>y乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4。

當y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。

答：當學生人數少於4人時，乙旅行社更優惠；當學生人數多於4人時，甲旅行社更優惠；本題運用了一次函數、方程、不等式等知識，解決了優惠方案的設計問題。

綜上所述，利用一次函數的圖象、性質及不等式的整數解與方程的有關知識解決了實際生活中許多的方案設計問題，如果學生能切實理解和掌握這方面的知識與應用，對解決方案問題的數學題是很有效的。

練習

1．某童裝廠現有甲種布料38米，乙種布料26米，現計劃用這兩種布料生產L、M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利潤30元。設生產L型號的童裝套數為x，用這批布料生產這兩種型號的童裝所獲利潤為y(元)。

(1)寫出y(元)關於x(套)的函數解析式；並求出自變量x的取值範圍；

(2)該廠在生產這批童裝中，當L型號的童裝為多少套時，能使該廠所獲的利潤最大?最大利潤為多少?

2．A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現要把化肥運往C、D兩農村，如果從A城運往C、D兩地運費分別是20元/噸與25元/噸，從B城運往C、D兩地運費分別是15元/噸與22元/噸，現已知C地需要220噸，D地需要280噸，如果個體户承包了這項運輸任務，請幫他算一算，怎樣調運花錢最小?

3．下表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤。某汽車運輸公司計劃裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售(每輛汽車按規定滿載，並且每輛汽車只裝一種蔬菜)

(2)公司計劃用20輛汽車裝運甲、乙、丙三種蔬菜36噸到B地銷售(每種蔬菜不少於一車)，如何安排裝運，可使公司獲得最大利潤?最大利潤是多少? (1)若用8輛汽車裝運乙、丙兩種蔬菜11噸到A地銷售，問裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛?

4．有批貨物，若年初出售可獲利2000元，然後將本利一起存入銀行。銀行利息為10%，若年末出售，可獲利2620元，但要支付120元倉庫保管費，問這批貨物是年初還是年末出售為好?

答案：

1. (1) y=15x+1500；自變量x的取值範圍是18、19、20。

(2) 當x=20時，y的最大值是1800元。

2. 設A城化肥運往C地x噸，總運費為y元，則y=2x+10060 (0≤x≤200)，

當x=0時，y的最小值為10060元。

3. (1) 應安排2輛汽車裝運乙種蔬菜，6輛汽車裝運丙種蔬菜。

(2) 設安排y輛汽車裝運甲種蔬菜，z輛汽車裝運乙種蔬菜，則用［20-(y+z)］輛汽車裝運丙種蔬菜。

得 2y+z+1.5［20-(y+z)］=36，化簡，得 z=y-12，所以 y-12=32-2y。

因為 y≥1， z≥1， 20-(y+z)≥1，所以 y≥1， y-12≥1， 32-2y≥1，

所以 13≤y≤15.5。

設獲利潤S百元，則S=5y+108，

當y=15時，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。

4. (1) 當成本大於3000元時，年初出售好；

(2) 當成本等於3000元時，年初、年末出售都一樣；

(3) 當成本小於3000元時，年末出售好。