什麼是有理數-有理數的分類
有理數為整數和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。由於任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數,反之,每一個十進制循環小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進制循環小數。
有理數集是整數集的擴張。在有理數集內,加法、減法、乘法、除法(除數不為零)4種運算通行無阻。
有理數的大小順序的規定:如果是正有理數,當大於或小於,記作或。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。
有理數集與整數集的一個重要區別是,有理數集是稠密的,而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定後,任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數,這就是稠密性。整數集沒有這一特性,兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。
有理數是實數的緊密子集:每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是,僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列,有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的(稠密)子集,因此它同時具有一個子空間拓撲。
有理數及其分類
有理數的分類按不同的`標準有以下兩種:
(1)按有理數的定義分類:
(2)按有理數的性質分類:
命名由來
“有理數”這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更“有道理”。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數”。但是,這個詞來源於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這裏的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的“比”。與之相對,“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理。
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