求不定积分方法总结
大学数学不定积分是基本内容,那么,今天,小编给大家分享的是求不定积分方法总结,供大家阅读参考。
1、不定积分的线性性
成立的前提是,f和g都有不定积分!
这个性质在计算不定积分时,经常用!一般都是把难计算的不定积分,转化为一个个容易计算的不定积分。例题就不说了,看书。
2、分部积分法
这是一个很有效的计算积分的办法!一定要掌握!
从本师的教学经验来看(别丢鸡蛋!),初学者(就是你们了!)往往在两个地方犯难:
(1)不知道怎么凑微分
(2)不知道把谁当u,谁当v
另外,一个不定积分的计算,可能需要好几次分部积分。我们来道普通的例题。
3、有理函数的积分
有理函数的积分,是一类常见的不定积分。它有一套通用的办法求解,并且很多不定积分,经过适当的换元后,可以转化成有理函数的不定积分来计算!所以,这种类型的不定积分,一定要掌握!
其中P和Q是x的多项式函数。
这个类型的积分,主要是通过拆项,化成简单的不定积分来计算。
下面的步骤,其实就是教你怎么拆项。
(1) 用辗转相除法,将被积函数化成一个多项式和“真分式”的和:
(2)
h(x)是多项式函数,积分不要太简单!现在就是要计算右边这个积分了。
(3)
对Q(x)因式分解。因为我们考虑的是实系数多项式,由**定理,多项式Q(x)一定能分解成下面两种类型的`因子的乘积:
(4) 利用待定系数法,将r/Q拆分,拆成简单的分式的和。举例说明:
然后,右边同分,比较等式两边分子的系数。
这样就会得到待定系数的一个一次方程组,解之(非常简单),算出待定系数。
例子1
例子2
后面都会,不写了。记得反带回去,最后要是x的表达式!还有每日+C!
4、 第一类换元(凑分法)u=g(x),主要是要记牢常见的求导公式,然后多从右往左看。
5、第二类换元,x=u(t)
要注意,u(t)必须是单调的!所以一般要指明t的取值范围。这里,换元的技巧非常多,本师也只掌握了其中一些常用的。
(1) 倒代换 x=1/t
使用的对象特征很明显
来个例子
t<0时,类似处理,最后再下结论。
(2)
这种形状的积分,直接换元掉根号。
例子说明一切!
(3) 三角换元
这是让大家又爱又恨的积分法。爱是因为它实在是太好用了,恨是因为它实在是太多选择太多恒等变化了!
这种情况,用合适的三角函数去换元。注意,换元的目的,在这里是为了去掉根号,以便达到简化被积函数的目的。知道这一点,你就知道如何选择三角函数了。另外,注意新变量的取值范围,以保证单调性。
书上有太多这样的例题,这里不列举了。
下面主要和大家分享下三角函数有理式(三角函数的乘除)的计算技巧。
(i)遇奇次幂,拿一个出来,凑到微分里
(ii)都是偶数次幂,倍角公式降幂
(iii)积化和差公式
(iv)当三角函数幂次较低时,使用万能公式换元
(v) 配凑法
解之,得I_1,I_2.
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