高中数学求最值的方法
函数的最值问题既是历年大学联考重点考查的内容之一,也是中学数学的主要内容。分享了高中数学求最值的几种方法,希望对同学们有帮助!
(1)代数法。代数法包括判别式法(主要是应用方程的思想来解决函数最值问题)配方法(解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题)不等式法(基本不等式是求最值问题的重要工具,灵活运用不等式,能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题)④换元法(利用题设条件,用换元的方法消去函数中的一部分变量,将问题化归为一元函数的最值,以促成问题顺利解决,常用的换元法有代数换元法和三角换元法)。
①判别法:判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁,若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用,就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数,还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,在a(y)≠0时,由于x,y为实数,必须有:△=[b(y)]—4a(y)c(y)≥0,由此求出y所在的范围确定函数最值。
②配方法:配方法多使用于二次函数中,通过变量代换,能变为关于t(x)的二次函数形式,函数可先配方成为f(x)=a[t(x)—m]2+n的形式,再根据二次函数的性质确定其最值(此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式,同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内,若不在定义域内则需考虑函数的单调性)。
③不等式法:均值不等式求最值,必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件,因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形,使这些条件得以满足“和定积最大,积定和最小”,特别是其等号成立的条件。(在满足基本不等式的条件下,如果变量的和为定值,则积有最大值;变量的积为定值,则和有最小值。本例中计算的目的,是利用隐含在条件之中的和为定值,当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的,具有一定技巧)
④换元法:换元法又叫变量替换法,即把某个部分看成一个式子,并用一个字母代替,于是使原式变得简化,使解题过程更简捷(在利用三角换元法求解问题时,关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上,结合所求解的函数式,慎重使用)。
(2)数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的`思想方法,即考虑函数的几何意义,结合几何背景,把代数问题转化为几何问题,解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题,有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来,借助几何图形活跃解题思路,使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。
①解析式:解析法是观察函数的解析式,结合函数相关的性质,求解函数最值的方法。
②函数性质法:函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质,如函数的单调性求函数最值等。
③构造复数法:构造复数法是在已经学习复数章节的基础上,把所求结论与复数的相关知识联系起来,充分利用复数的性质来进行求解。
④求导法(微分法):导数是高中现行教材新增加的内容,求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题,可以解决一类高次函数的最值问题。找闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大(或最小)值时,将不可导点、稳定点及a,b处的函数值作比较,最大(或最小)者即为最大(或最小)值。
综上可知,函数最值问题内涵丰富,解法灵活,没有通用的方法和固定的模式,在解题时要因题而异;而且上述方法并非彼此孤立,而是相互联系、相互渗透的,有时一个问题需要多法并举,互为补充,有时一个题目又会有多种解法。因此,解题的关键在于认真分析和思考,因题而异地选择恰当的解题方法,当一题有多种解法时,当然应该注意选择最优解法。
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